核心：图卷积
在计算机视觉领域，Convolutional Neural Network(CNN)已经取得了巨大成就，主要针对Euclidean Structure的数据（图像属此类型）。
在Topological Structure（拓扑结构）数据中，相应的工具则是Graph Convolutional Network，可以应对更广义的结构数据。
GCN在ICLR 2017由T.Kipf, M.Welling正式提出(Semi-supervised Classification with Graph Convolutional Networks)。
先介绍一下图的基础知识。对于一个图：
对应的数学表示为：
| Degree Matrix | Adjacency Matrix | Laplacian Matrix |
|---|---|---|
在GCN文中一开始便给出了核心，每两层直接的递推公式：
其中，是加上单位对角矩阵；是相应的度；为第层以各节点特征为行向量的矩阵（为输入）；为权重矩阵，每层不同，是训练最终要得到的参数；是激活函数。
图卷积的来龙
我看到卷积公式之后，内心是崩溃的：为什么是这样一个公式，有什么道理吗？总不能是试来的吧？
抱着为什么的疑问，我对其来龙进行了简要的学习，这个过程还是蛮有意思的。下面是一个简要介绍，省略了数学的性质和推导，主要看中心思想。
众所周知，卷积是信号处理中的概念，与Fourier transform息息相关。GCN的概念也是从此推广而来。
图上的傅立叶变换
首先，图的Laplacian matrix 是半正定对称矩阵，利用其性质，可以进行矩阵分解
其中，是的个特征值组成的对角阵，是列向量为单位特征向量的矩阵。
因为是正交矩阵，有,所以有：
如何利用包含图结构的，和代表其特性的的和推导出图卷积的过程？
故事要从Fourier transform说起。傅立叶正变换：
公式很复杂，这里只说它的思想。傅立叶变换用形象一些的图表示为：
傅立叶逆变换，就是上图的逆向过程：
从物理角度理解傅里叶变换是以一组特殊的函数为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。这跟拉普拉斯矩阵的特征值分解有相同的本质。
如果将和看成时间信号，就可以套用傅里叶变换了。
类推Topological Graph上的傅立叶变换：
矩阵形式为
具体来说，就是
其中，是拓扑图中第n个节点的特征，是在特征值的域上的特征。
相应的逆变换为：
图上的卷积
傅里叶卷积：
推广到图卷积：
矩阵形式
设计核函数 为
则有
- 可以看出，最终的计算公式具有Spatial Localization
再结合是拉普拉斯矩阵的一种变形。所以，就不难理解了。
图卷积的应用
原文例：聚类
上图是一个社交网络（空手道俱乐部），节点表示成员的特征，边表示有社交关系，颜色代表了他们所属的小团体。不依靠节点的特征，只通过图，在随机初始化权重之后，经过两次前向传播，可以大致将成员分对。
原文例：半监督学习
每类只只标记一个样本（图例是四类），将网络最终的输出做训练，即只对这四个样本做训练。剩下的样本在训练完成之后的输出即是预测。
视频动作识别
Wang, Xiaolong, and Abhinav Gupta. “Videos as Space-Time Region Graphs.” ECCV, 2018).
在前向传播的过程中，插入GCN模块。如图例，对连续四帧监测到的目标，建立图。可以将目标之间的关联信息加以利用，增强目标识别的效果。
